Timeline : หลุมดำ (2)

ดร.บัญชา ธนบุญสมบัติhttps://www.facebook.com/buncha2509

ในบทความตอนแรก ผมเล่าประวัติของหลุมดำถึงปี ค.ศ.1916 ซึ่งไอน์สไตน์เสนอแนวคิดเกี่ยวกับคลื่นความโน้มถ่วงไปแล้ว คราวนี้มาดูกันต่อครับ

1916 (2) : คาร์ล ชวาร์ซชิลด์ (Karl Schwarzchild) แก้สมการสนามของไอน์สไตน์สำหรับระบบที่ไม่หมุนรอบตัวเอง มีสมมาตรเชิงทรงกลม และไม่มีประจุ ซึ่งต่อมาตีความว่าคือ หลุมดำทรงกลม ไม่หมุน และไม่มีประจุไฟฟ้า เรียกว่า หลุมดำแบบชวาร์ซชิลด์ (Schwarzchild black hole)

เขาได้คำตอบที่ออกมาเป็นสูตรแบบแน่นอน (an exact solution) ซึ่งทำให้ไอน์สไตน์รู้สึกทึ่งและประหลาดใจอย่างยิ่ง เนื่องจากสมการสนามของไอน์สไตน์นั้นซับซ้อนอย่างยิ่ง และขณะนั้นตัวไอน์สไตน์เองก็ทำได้เพียงแค่หาคำตอบได้แบบประมาณในบางเงื่อนไขเท่านั้น

น่าสนใจว่าชวาร์ชิลด์อ่านบทความเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปใน The Proceedings of the Prussian Academy of Sciences ฉบับวันที่ 25 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 โดยในขณะนั้นเขาเป็นทหารอยู่ในกองทัพเยอรมนีและกำลังรบกับรัสเซียในสงครามโลกครั้งที่ 1

เมื่อได้อ่านบทความแล้วก็ใช้เวลาไม่นานในการแก้สมการ และส่งจดหมายไปหาไอน์สไตน์ โดยไอน์สไตน์ได้นำเสนอในนามของเขาเมื่อวันที่ 13 มกราคม ค.ศ.1916

แต่น่าเสียดายว่าชวาร์ซชิลด์เสียชีวิตจากความเจ็บป่วยเมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ปีเดียวกัน

-คาร์ล ชวาร์ซชิลด์
ที่มา : https://simple.wikipedia.org/wiki/Karl_Schwarzschild

ต่อมาเมื่อมีการศึกษาคำตอบของชวาร์ซชิลด์ให้ลึกลงไป สามารถสรุปประเด็นสำคัญของ หลุมดำแบบชวาร์ชิลด์ (Schwarzchild black hole) ได้ดังนี้

หลุมดำแบบชวาร์ซชิลด์เป็นหลุมดำในเชิงทฤษฎีชนิดที่ง่ายที่สุด และเป็นแบบจำลองพื้นฐานสำหรับการศึกษาหลุมดำชนิดอื่นๆ

ลักษณะเฉพาะที่สำคัญของหลุมดำชวาร์ซชิลด์ ได้แก่

(1) ไม่หมุน คือไม่มีโมเมนตัมเชิงมุม

(2) ไม่มีประจุไฟฟ้า

(3) สมมาตรทรงกลม กล่าวคือรูปร่างของหลุมดำสมมาตรทุกทิศทุกทาง

(4) ขอบฟ้าเหตุการณ์ (event horizon) ซึ่งเป็นขอบเขตที่ล้อมรอบหลุมดำที่ไม่มีอะไรสามารถหลุดออกมาได้แม้แต่แสง

(5) ภาวะเอกฐาน (singularity) คือ จุดศูนย์กลางของหลุมดำซึ่งมีความหนาแน่นเป็นอนันต์ และกาลเวลาบิดโค้งอย่างมหาศาล

(6) รัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius) ซึ่งเป็นระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของหลุมดำถึงขอบฟ้าเหตุการณ์ ค่าของรัศมีชวาร์ซชิลด์แปรผันตรงกับมวลของหลุมดำ โดยมีสูตรคำนวณแบบแม่นยำคือ Rs = 2Gm/c^2 โดยที่ Rs คือ รัศมีชวาร์ซชิลด์ (m), G คือ ค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล (ประมาณ 6.674 ? 10^-11 N m?/kg?), m คือ มวลของหลุมดำ (kg) และ c คือ อัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (ประมาณ 3 ? 10^8 m/sec)

(7) ทรงกลมโฟตอน (photon sphere) คือ พื้นผิวรูปทรงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางคือภาวะเอกฐาน

โดยแสงที่เคลื่อนที่บนพื้นผิวทรงกลมโฟตอนนี้จะเคลื่อนที่ไปรอบหลุมดำโดยรักษาระยะห่างจากภาวะเอกฐานคงที่เท่ากับ 1.5 เท่าของรัศมีชวาร์ซิลด์

หลุมดำแบบแบบชวาร์ซชิลด์
ที่มา : https://www.daviddarling.info/encyclopedia/S/Schwarzschild_black_hole.html

1918 (1) : ฮันส์ ไรส์เนอร์ (Hans Reissner) และกุนนาร์ นอร์ดสเตริม (Gunnar Nordstrom) แก้สมการสนามไอน์สไตน์-แมกซ์เวลล์สำหรับระบบที่ไม่หมุนรอบตัวเอง มีสมมาตรทรงกลม และมีประจุไฟฟ้า พูดง่ายๆ คือ หลุมดำทรงกลม มีประจุไฟฟ้า แต่ไม่หมุน ซึ่งต่อมากเรียกว่า หลุมดำแบบไรส์เนอร์-นอร์ดสเตริม (Reissner-Nordstorm black hole)

น่าสนใจว่า หลุมดำไรส์เนอร์-นอร์ดสเตริม มีขอบฟ้าเหตุการณ์สองชั้น ได้แก่ ขอบฟ้าเหตุการณ์ชั้นนอก (outer horizon) และขอบฟ้าเหตุการณ์ชั้นใน (inner horizon)) ขอบฟ้าเหตุการณ์ชั้นนอกเป็นขอบฟ้าเหตุการณ์แบบปกติ คือ ไม่มีสิ่งใด รวมทั้งแสง สามารถหลุดรอดออกมาได้ ส่วนขอบฟ้าเหตุการณ์ชั้นในบางครั้งเรียกว่า ขอบฟ้าโคชี (Cauchy horizon)

1918 (2) : ฟรีดิช ค็อตเลอร์ (Friedrich Kottler) ได้ขยายขอบเขตของคำตอบชวาร์ชิลด์ในกรณีที่ค่าคงที่ของจักรวาล (cosmological constant) ไม่เท่ากับศูนย์

1923 : จอร์จ เดวิด เบิร์คฮอฟฟ์ (George David Birkhoff) พิสูจน์ว่าเรขาคณิตของกาลอวกาศแบบชวาร์ซชิลด์เป็นคำตอบที่มีสมมาตรแบบทรงกลมและมีเพียงคำตอบเดียวสำหรับสมการสนามของไอน์สไตน์

เบิร์คฮอฟฟ์ เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์อเมริกันชั้นนำของอเมริกันในยุคของเขา เขาได้มีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิชาการสาขาต่างๆ เช่น สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equations) ระบบพลศาสตร์ (dynamical systems) ปัญหาสี่สี (the four-color problem) ปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุ 3 ชิ้น (the 3-body problem) และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (general relativity)

เบิร์คฮอฟฟ์เป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในทฤษฎีบทเออร์กอดิก (ergodic theorem) และผลงานพื้นฐานของเขาในระบบพลศาสตร์

หลุมดำแบบไรส์เนอร์-นอร์ดสเตริม
ที่มา : https://www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Reissner-Nordstrom_black_hole.html

1935 : สุพรหมัณยัน จันทรเศขร (Subrahmanyan Chandrasekhar) นำเสนอการค้นพบต่อราชสมาคมทางดาราศาสตร์ (Royal Astronomical Society) ในลอนดอน เมื่อวันศุกร์ที่ 11 มกราคม ค.ศ.1935 ข้อสรุปสำคัญประการหนึ่งคือ ดาวแคระขาว (white dwarf) มีมวลสูงสุดได้ไม่เกินราว 1.4 เท่าของมวลดวงอาทิตย์ ค่านี้ต่อมาเรียกว่า ขีดจำกัดจันทรเศขร (Chandrasekhar limit)

การมีขีดจำกัดจันทรเศขรบ่งเป็นนัยว่า หากดาวฤกษ์ที่กำลังยุบตัวลงมีมวลสูงกว่าค่าขีดจำกัดนี้ ก็เป็นไปได้ที่จะกลายเป็นดาวนิวตรอน หรือแม้แต่หลุมดำ

1939 (1) : ไอน์สไตน์ ตีพิมพ์บทความซึ่งมีข้อสรุปว่าหลุมดำไม่สามารถมีอยู่จริงได้ บทความนี้มีชื่อในภาษาอังกฤษคือ On a Stationary System With Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses ตีพิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics เดือนตุลาคม ค.ศ.1939

การให้เหตุผลของไอน์สไตน์เริ่มต้นด้วยการพิจารณามวลซึ่งโคจรเป็นวงกลมในกาลอวกาศแบบชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild spacetime) ในบริเวณนอกขอบฟ้าเหตุการณ์ การที่มวลนี้จะรักษาเส้นทางโคจรเป็นวงกลมได้ มันจะต้องเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วสูงมาก

ไอน์สไตน์พบว่าเมื่อวงโคจรเข้าใกล้ขอบฟ้าเหตุการณ์มากขึ้น อัตราเร็วที่จำเป็นสำหรับเสถียรภาพของวงโคจรก็จะเพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้วงโคจรขีดจำกัด (limiting orbit) ซึ่งอยู่ที่ระยะรัศมีพิกัดที่ r = (2+?3) ? 3.73 เท่าของรัศมีชวาร์ซชิลด์วัดจากจุดศูนย์กลาง

เมื่อวงโคจรของมวลใกล้เคียงกับวงโคจรขีดจำกัดนี้มากขึ้น อัตราเร็วของก็จะใกล้อัตราเร็วแสงมากขึ้นตามไปด้วย แต่ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มวลไม่อาจเคลื่อนที่ได้เร็วเท่าแสงได้เนื่องจากต้องใช้พลังงานเป็นอนันต์ วงโคจรดังกล่าวจึงเป็นขีดจำกัดสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงโคจรของมวลทั้งหมด

เมื่อมวลในดาวฤกษ์ที่กำลังยุบตัวเคลื่อนไม่อาจเข้าถึงขอบฟ้าเหตุการณ์ ผลก็คือการก่อตัวของหลุมดำจะไม่เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม การวิจัยในเวลาต่อมาได้แสดงให้เห็นว่าการให้เหตุผลของไอน์สไตน์มีข้อบกพร่อง และหลุมดำสามารถก่อตัวขึ้นได้จริง

จอร์จ เดวิด เบิร์คคอฟฟ์
ที่มา : https://en.wikipedia.org/wiki/George_David_Birkhoff
Chandrasekhar-Young สุพรหมัณยัน จันทรเศขร
บทความของไอน์สไตน์ซึ่งสรุปว่าหลุมดำไม่อาจมีอยู่จริงได้
ที่มา : https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/black_holes_Einstein/index.html
แบบจำลองการเคลื่อนที่เป็นวงกลมของมวลในกาลอวกาศแบบชวาร์ซชิลด์ที่ไอน์สไตน์ใช้
ที่มา : https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/black_holes_Einstein/index.html