ในบทความก่อนหน้านี้ ผมเล่าว่าไอน์สไตน์ได้ใช้แนวทาง 2 อย่างในการสร้างสมการสนาม (field equations) ซึ่งเป็นหัวใจของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

แนวทางแรกคือ กลยุทธ์ทางกายภาพ ซึ่งเริ่มต้นจากหลักการและกฎทางฟิสิกส์ที่ต้องเป็น จากนั้นจึงพยายามสร้างสมการให้สอดคล้องกับหลักการและกฎเหล่านั้น

ส่วนแนวทางที่สองคือ กลยุทธ์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเน้นการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ เพื่อสร้างสมการสนามความโน้มถ่วงที่เป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป

หลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป (general covariance) ระบุว่ากฎทางฟิสิกส์จะเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตการณ์ทุกคน ไม่ว่าพวกเขาจะอยู่ภายใต้สนามโน้มถ่วงหรืออยู่ในสภาวะเร่งก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง โครงสร้างหรือรูปแบบสมการของกฎทางฟิสิกส์จะไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เลือกใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์

หลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไปเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้ได้มาซึ่งหลักสัมพัทธภาพแบบกรณีทั่วไป (general principle of relativity) นี่คือสิ่งที่ไอน์สไตน์เชื่อและต้องการ

ค.ศ.1913 : ไอน์สไตน์ได้ละทิ้งกลยุทธ์ทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งทำให้เขาหลงทาง) โดยในเดือนพฤษภาคม ไอน์สไตน์และกรอสมันน์ได้ใช้กลยุทธ์ทางกายภาพสร้างทฤษฎีที่เป็นไปตามข้อกำหนดด้านการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัม และเข้ากันได้กับกฎของนิวตันในสนามความโน้มถ่วงแบบอ่อนและสถิต

ไอน์สไตน์และกรอสมันน์ร่วมกันเขียนบทความชื่อ Entwurf einer verallgemeinerten Relativit?tstheorie und einer Theorie der Gravitation หรือชื่อในภาษาอังกฤษคือ Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation (‘โครงร่างของทฤษฎีสัมพัทธภาพที่ถูกขยายให้ใช้ได้กว้างขวางยิ่งขึ้นและทฤษฎีความโน้มถ่วง’) บทความนี้รู้จักกันในชื่อภาษาเยอรมันว่า Entwurf ซึ่งหมายถึง ‘โครงร่าง’

ในปีนี้ไอน์สไตน์เขียนจดหมายถึงนักดาราศาสตร์ชาวอเมริกันชื่อ จี. อี. เฮล (G.E. Hale) เพื่อสอบถามว่าการทดสอบคำทำนายที่ว่าแสงอาจถูกเบี่ยงโค้งด้วยดวงอาทิตย์นั้นอาจทำขณะที่ไม่เกิดสุริยุปราคาได้หรือไม่? เฮลตอบว่าไม่อาจทำได้ เพราะท้องฟ้ารอบๆ ดวงอาทิตย์สว่างจ้าเกินไป

ค.ศ.1914 : สงครามโลกครั้งที่ 1 เริ่มต้นขึ้นในวันที่ 28 กรกฎาคม และมีส่วนทำให้นักดาราศาสตร์ไม่สามารถใช้สุริยุปราคาในวันที่ 21 สิงหาคม ทดสอบคำทำนายของไอน์สไตน์ที่ว่าแสงถูกเบี่ยงโค้งได้โดยความโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ แต่ก็นับเป็นผลดีต่อไอน์สไตน์ เนื่องจากคำทำนายของเขาผิดพลาด โดยน้อยกว่าค่าที่แท้จริงอยู่ 2 เท่า

ตลอดปี ค.ศ.1914 นี้ ไอน์สไตน์เชื่อมั่นในทฤษฎี Enwurf ซึ่งภายหลังเขาพบว่ามาผิดทาง

มิถุนายน ค.ศ.1915 : ในเดือนนี้ ไอน์สไตน์เริ่มบรรยายที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเง็น ครั้งละ 2 ชั่วโมง มหาวิทยาลัยแห่งนี้โดดเด่นด้านคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์เชิงทฤษฎี

ดาวิด ฮิลแบร์ท (David Hilbert) นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะซึ่งทำงานอยู่ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินสนใจเข้าฟังการบรรยายของไอน์สไตน์และฟังด้วยความเข้าใจอย่างลึกซึ้งยิ่ง

ไอน์สไตน์เขียนจดหมายถึงเพื่อนชื่อ ไฮน์ริช ซังเกอร์ (Heinrich Zangger) ว่าเขา “สามารถทำให้นักคณิตศาสตร์ที่นั่นเชื่อโดยตลอด” และพูดถึงฮิลแบร์ทว่า “ผมสามารถทำให้ฮิลแบร์ทเชื่อในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป’ และเรียกฮิลแบร์ทว่า “ชายผู้มีพลังและความคิดอิสระน่าพิศวง” ต่อมาไม่นาน ฮิลแบร์ทผู้นี้ได้กลายเป็นคู่แข่งของไอน์สไตน์ในการคิดค้นสมการสนาม

ตุลาคม ค.ศ.1915 : ไอน์สไตน์ยอมทิ้งทฤษฎี Enwurf ด้วยเหตุผลหลายอย่าง เช่น ทฤษฎีนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการหมุนเป็นการเคลื่อนที่สัมพัทธ์รูปแบบหนึ่ง (กล่าวคือ เขาเคยเข้าใจผิดว่าทฤษฎีนี้ทำได้) และที่สำคัญคือ ทฤษฎี Enwurf ไม่ได้เป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป

ไอน์สไตน์กลับมาเน้นใช้กลยุทธ์ทางคณิตศาสตร์มากขึ้น อันเป็นแนวทางที่เขาปล่อยทิ้งไว้ตั้งแต่ปลายปี ค.ศ.1912 ถึงตอนนี้สมการสนามที่เขาคิดขึ้นมาจะยังไม่ถูกต้องสมบูรณ์ แต่ก็สามารถทำนายการส่ายของจุดเพริฮีเลียน (หรือจุดใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด) ของดาวพุธได้ละเอียดกว่ากลศาสตร์ของนิวตัน

4 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ไอน์สไตน์นำเสนอผลงานในการประชุมวิชาการของสภาแห่งปรัสเซีย (Prussian Academy) ครั้งแรกจากทั้งหมด 4 ครั้ง แต่สมการสนามของเขายังไม่เป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป

11 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ไอน์สไตน์นำเสนอผลงานในการประชุมวิชาการของสภาแห่งปรัสเซีย ครั้งที่ 2 คราวนี้เขาใช้เทนเซอร์ของริชชี และกำหนดเงื่อนไขพิกัดแบบใหม่ ทำให้สมการเป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป แต่ผลที่ได้ยังดีขึ้นไม่มากนัก

16 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ฮิลแบร์ทนำเสนอทฤษฎีความโน้มถ่วงของเขา และเชิญไอน์สไตน์ไปที่เกิททิงเง็น

18 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ไอน์สไตน์นำเสนอผลงานในการประชุมวิชาการของสภาแห่งปรัสเซีย ครั้งที่ 3 โดยนำเสนอค่าที่ถูกต้องของการส่ายของจุดเพริฮีเลียนของดาวพุธว่าเท่ากับ 43 พิลิปดาต่อศตวรรษ

ไอน์สไตน์ตื่นเต้นกับผลการคำนวณนี้มาก และเขียนจดหมายถึงเพื่อนนักฟิสิกส์คนหนึ่งว่า “ผมพอใจกับผลลัพธ์เรื่องการเคลื่อนที่ของจุดเพริฮีเลียนของดาวพุธอย่างมาก รายละเอียดความแม่นยำของวิชาดาราศาสตร์ (ที่ผมเคยแอบหัวเราะเยาะ) กลับมาเป็นประโยชน์แก่พวกเราได้อย่างมากมาย!”

ในการนำเสนอครั้งนี้ เขายังได้ปรับปรุงค่าการเบี่ยงโค้งของแสงที่เคลื่อนที่เฉียดดวงอาทิตย์ว่ามีค่าประมาณ 1.7 พิลิปดา (ซึ่งเป็นค่าที่ถูกต้องเมื่อตรวจสอบโดยการสังเกตสุริยุปราคาในอีก 3 ปีต่อมา)

วันเดียวกันนี้เอง ไอน์สไตน์ได้รับบทความใหม่จากฮิลแบร์ท (ที่นำเสนอไปเมื่อวันที่ 16 พฤศจิกายน) ซึ่งทำให้เขาแปลกใจและไม่ค่อยสบายใจนัก เนื่องจากบทความของฮิลแบร์ทคล้ายคลึงกับผลงานของเขามาก ไอน์สไตน์ตอบกลับไปอย่างห้วนๆ และมีข้อความยืนยันว่าตัวเขาเองเป็นคนคิดได้ก่อนฮิลแบร์ท

20 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ฮิลแบร์ทส่งบทความชื่อ Die Grundlagen der Physik ซึ่งแปลว่า The Foundation of Physics (รากฐานของวิชาฟิสิกส์) ในภาษาอังกฤษ ไปให้วารสารวิทยาศาสตร์แห่งเมืองเกิงทิงเง็น และประกาศว่าเป็นสมการของเขาเป็นสมการสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

25 พฤศจิกายน ค.ศ.1915 : ไอน์สไตน์นำเสนอผลงานในการประชุมวิชาการของสภาแห่งปรัสเซีย ครั้งที่ 4 ใช้ชื่อบทความว่า Die Feldgleichungen der Gravitation ซึ่งแปลเป็นภาษาอังกฤษคือ The Field Equations of Gravitation (สมการสนามสำหรับความโน้มถ่วง) ครั้งนี้ ไอน์สไตน์นำเสนอสมการสนามที่ถูกต้องสมบูรณ์ เป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไป

อาจมีคำถามว่าใครกันแน่ ระหว่างไอน์สไตน์กับฮิลแบร์ท ที่สมควรได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ค้นพบสมการสนามอันเป็นหัวใจของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป?

ในปี ค.ศ.1997 ทีมผู้เชี่ยวชาญพบหลักฐานว่า ปรู๊ฟบทความของฮิลแบร์ทที่พิมพ์แล้ว และส่งกลับมาให้ฮิลแบร์ทตรวจพิสูจน์อักษร ฮิลแบร์ทได้แก้ไขอะไรบางอย่างในปรู๊ฟนั้นและส่งกลับไปให้สำนักพิมพ์ในวันที่ 16 ธันวาคม ค.ศ.1915

ทั้งนี้ สมการในต้นฉบับของฮิลแบร์ทแตกต่างจากสมการสุดท้ายของไอน์สไตน์ (ที่นำเสนอในวันที่ 25 พฤศจิกายน) อย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากสมการของฮิลแบร์ทไม่เป็นไปตามหลักการโคแวเรียนซ์แบบทั่วไปอย่างแท้จริง

ถึงที่สุดแล้ว ฮิลแบร์ทได้แก้ไขบทความที่ปรับปรุงใหม่ของเขาให้ตรงกับสมการของไอน์สไตน์ และมีข้อความว่า “เสนอเป็นครั้งแรกโดยไอน์สไตน์” และนับจากนั้นมา ฮิลแบร์ทมักจะกล่าวอยู่เสมอๆ ว่า ไอน์สไตน์เป็นคนเดียวที่คิดค้นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป โดยมีคำกล่าวอมตะที่ว่ากันว่าฮิลแบร์ทพูดเอาไว้ นั่นคือ

“เด็กชายทุกคนในเมืองเกิททิงเง็นเข้าใจเรขาคณิตสี่มิติดีกว่าไอน์สไตน์ แต่กระนั้น ไอน์สไตน์ก็เป็นคนที่ทำงานนี้ ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์”